這幅概念圖展示了在年輕原恒星周圍旋轉的碎屑盤，碎屑盤含有氣體和塵埃。圖片來源：美國宇航局和噴氣推進實驗室

如果研究人員想要預測由量子力學統治的系統的行為，比如原子中的一個電子，或者在太空中穿梭的光里面的一個光子，他們通常會求助于薛定諤方程。這個方程由奧地利物理學家歐文·薛定諤于1925年發明，描述了亞原子粒子以及它們如何顯示像波一樣的特性，比如干涉現象。它包含了量子世界中所有看似奇怪且違反直覺的事物的本質。

但薛定諤方程似乎并不局限于這個領域。加州理工學院的行星科學家康斯坦丁·巴蒂金(Konstantin Batygin)今年1月在《皇家天文學會月刊》(Monthly notice of the Royal Astronomical Society)上發表了一篇論文，稱這個等式也可以用來理解自引力天體物理圓盤的產生及其行為。也就是那種類似于土星和天王星等行星的光環，或圍繞年輕恒星、為行星系統形成提供原材料的塵埃和氣體光環，甚至是螺旋進入黑洞的碎片吸積盤。

然而，這些東西根本沒有什么“量子”可言。它們可以是任何東西，從微小的塵埃顆粒到小行星或行星大小的大塊巖石。然而，Batygin說，薛定諤方程提供了一種方便的方法來計算這樣一個圓盤的形狀，以及它對屈曲或扭曲的穩定性。蘇格蘭圣安德魯斯大學的天體物理學家鄧肯·福根(Duncan Forgan)沒有參與這項研究，但他說“近一個世紀以來，薛定諤方程得到了深入的研究，這種聯系顯然很方便。”

從經典到量子

這個方程經常被認為是“量子”的精華，以至于人們很容易忘記它真正代表的是什么。在某種程度上，薛定諤是在為法國物理學家路易斯·德布羅意的理論，即：量子粒子可以像波一樣運動的這個假設提出一個數學公式時，才像變魔法一樣地提出了這個方程。薛定諤運用了他對經典力學的深厚知識，他的方程在很多方面都類似于普通波的方程，一個不同之處在于，在量子力學中，“粒子波”的能量是量子化的：被限制在被稱為普朗克常數h的倍數離散值中，普朗克常數h是1900年德國物理學家馬克斯·普朗克首次提出的。

薛定諤方程與經典波之間的聯系已經被一個叫做常用非線性薛定諤方程的變體透露了，它被用來描述其他經典波系統，例如光學，甚至是海浪，它異常龐大和健壯的“超級波”提供了一個數學模型。

但是普通的“量子”版本——線性薛定諤方程——以前在經典力學領域中從未出現過。Batygin說之所以線性薛定諤方程會在這里出現是因為他建立自引力圓盤問題的方法創造了一個量，這個量在問題中設置了一個特定的“尺度”，就像h在量子系統中做的那樣。

多圈的物理

無論是在年輕的恒星周圍還是在超大質量的黑洞周圍，在一個自引力的碎片盤中，許多相互作用的物體都很難用數學方法描述。但是Batygin使用了一個簡化的模型，在這個模型中，磁盤的成分被涂抹并拉伸成細的“導線”，這些導線以同心橢圓的形式環繞在磁盤周圍。因為導線通過重力相互作用，它們之間可以交換軌道角動量，就像自行車的齒輪軸承和車軸之間的運動轉移一樣。

這種方法采用了數學家Pierre-Simon Laplace和Joseph-Louis Lagrange在18世紀提出的思想。Laplace是最早研究旋轉物體群如何坍縮成圓盤狀的人之一。1796年，他提出我們的太陽系是由圍繞著年輕的太陽旋轉的大量氣體和塵埃所組成的。Batygin和其他人以前使用過這種“線”近似，但是他決定看看極端的情況是如何，在這種情況下，環形線變得越來越薄，直到它們合并成一個連續的圓盤。在這個極限下，他發現描述這個系統的方程和薛定諤的方程是一樣的，波函數定義了量子粒子可能位置的分布，而圓盤本身則用波函數的類比來描述。實際上，圓盤的形狀就像一個量子粒子的波函數，在圓盤內外邊緣有壁的空腔中彈跳著。

由此產生的圓盤具有一系列的振動“模態”，類似于音叉中的共振，這些振動可能會被微小的干擾所激發——想象一個正在形成行星的行星盤，被經過的恒星，或者是一個物質正在不均勻地落入中心的黑洞吸積盤推動了一下。Batygin推導了一個條件，在這個條件下，一個圓盤會彎曲，或者反過來，它會像一個剛體一樣通過它自身的相互引力保持固定。他說，這取決于時間尺度。如果在圓盤中運行物體的角動量比擾動的持續時間快得多，圓盤就會保持剛性。他說：“另一方面，如果與擾動時間比起來，自我互動的時間要更長一些的話，圓盤也會彎曲。”

“量子”真的這么奇怪嗎?

當他第一次看到薛定諤方程在他的理論分析中實現時，Batygin說他震驚了。“但現在回想起來，對于我來說它必須出現在這個問題中，這個非常明顯”他補充說。

這意味著，薛定諤方程本身可以從18世紀以來的經典物理學中推導出來。它完全不依賴于“量子”——盡管事實證明它適用于量子領域。

這也許并不像看起來那么奇怪。一方面，為一種現象設計的方程式結果證明它們也適用于另一種完全不同的現象這種情況在科學中比比皆是。例如，用于描述一種化學反應的方程式已被應用于犯罪的建模，最近一種用于描述磁鐵的數學方法被用來描述開心果果園的果樹結果模式。但是量子物理本身不就是一種非常奇怪的行為嗎?還真不是。薛定諤方程并沒有描述量子粒子實際上“在做什么”，相反，它只是提供了一種預測觀察受特定波狀概率定律控制的系統可能會得到什么的方法。事實上，其他研究人員已經證明了量子理論的關鍵現象來自概率論的推廣，概率論在18世紀的時候也已經被設計出來了，那時還沒有任何跡象表明微小粒子的行為是這樣的。

Batygin指出，他的這個方法的優點是簡單。不需要使用復雜的計算機模型(所謂的n體模擬)來跟蹤圓盤中每個粒子的所有運動，圓盤可以被看作是一種平滑的薄片，隨著時間的推移會像鼓皮一樣擺動。Batygin說，這使得它對于中心物體比圓盤質量大得多的系統來說非常理想，例如原行星盤和圍繞超大質量黑洞運行的恒星環。然而，對于星系盤來說，它就行不通了，就是那種形成銀河系的螺旋。

蘇格蘭皇家天文臺的肯·賴斯(Ken Rice)并沒有參與這項工作，但他說，在中心天體比圓盤大得多的情況下，具有引力優勢的是中心天體。他說：“現在還不完全清楚，包括圓盤自身重力會如何影響進化。我的粗略猜測是它不會有多大影響，但我可能會是錯。”這表明，Batygin的形式體系的主要應用可能不是為廣泛的系統建模，而是為計算成本遠遠低于n體模擬的小范圍系統建模。

新澤西州普林斯頓高等研究院的天體物理學家Scott Tremaine同樣也沒有參與研究，他同意這些方程可能比那些更精確地描述自引力環的方程更容易解。但他表示，這種簡化是以忽略引力的長距離影響為代價的，因為在薛定諤版本中，只考慮了相鄰“線環”之間的相互作用。他說，“這是一個相當極端的簡化系統，只適用于特定的情況，而且不會為專家提供關于這些圓盤的新見解。”但他認為，這種方法可能具有有用的教學價值，尤其是在證明薛定諤方程“并非只是量子力學的神奇結果，它還可以描述各種物理系統”這個方面。

但是圣安德魯斯大學的Forgan認為Batygin的方法對于模擬被伴星扭曲的黑洞吸積盤特別有用。他說：“我們有很多關于帶有‘撕裂’圓盤的雙超大質量黑洞的有趣結果，這可能會在這些結果中派上用場。”

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